《四元玉鑒》解四元方程，比西方早五百多年，无奈近代落后一百年

西方科学从宗教中解放出来， 才有进步， 易经也需要从禁锢的思想中解放， 科学的进步， 需要解放思想。

纵观西方的科学发展历史， 把科学的定义从基督教教义中解放出来， 才造成这种新的开端。 尊重科学、尊重人才， 成为一种时尚， 以后又成为一种官方準则。

我们先来看看18世纪， 欧洲各国， 对待科学家数学家的态度吧。 1705年， 牛顿被封为爵士， 英王安妮和王子特地步行到剑桥大学参加授爵典礼， 以示重视。

而俄国沙皇两次聘请大数学家欧拉到彼得堡讲学。 欧拉向普鲁士腓特烈大帝， 推荐拉格朗日接任自己之位， 腓特烈大帝立即写信称：“欧洲最大之王， 希望欧洲最大的数学家在他的宫廷中。 ”拉格朗日在腓特烈大帝死后， 又去了巴黎。 大革命爆发时， 所有外国人一律被驱逐出境， 但是政府特别声明， 拉格朗日在这条法令之外。

中国虽然在西元1314年重新恢复了科举制度， 但是唐代设置的“明算”科(数学)却被取消了。 宋代与元初的数学成就早已无人知晓了。

元代始于1279年， 其初始制度， 人分十等：一官二吏三僧四道五医六工七猎八娼九儒十丐。

知识份子地位就是臭老九， 在娼妓之下， 稍高于乞丐!

此时， 大科学家郭守敬(1231—1316年)已经48岁， 他死后， 曆法三百多年没有人修改。 想想看， 如果现在的日曆三百年都没有专们的科学家天文学加进行校对的话， 估计月亮晚上初几会圆都不知道了吧。

大数学家朱世杰晚年的力作《四元玉鑒》(1303年)， 在他死后也随之湮灭。 17世纪西方代数传入我国， 译作“借根方”。 有一位叫梅玨成的学者， 在精研了借根方之后， 又无意中读到了郭守敬的《授时曆草》、朱世杰的《四元玉鑒》， 不禁恍然大悟， 所谓借根方， 就是中国的“天元术”。 中国人五百年前就知道了， 什幺是求未知数， 解方程， 甚至四元方程都不是什幺问题， 而且思路更为严谨清晰。

梅玨成着作《赤水遗珍》（1761年）谈到西方传入的“借根方”， 就是中国本有的“立天元一”的天元术。

从十七世纪到十八世纪末的一百多年间(康熙、雍正、乾隆三朝)所谓太平盛世， 有记载的文字狱就有七、八十起， 思想禁锢， 学术封杀。 甚至改变了知识份子做学问的方向， 学者们只能躲在故纸堆里皓首穷经!而西方的知识份子此时却在研究声、光、化、电,酝酿着一个将会震惊整个世界的工业大革命！

我们的科学技术远远地落后了!虽然令人痛心疾首， 但并不可怕， 我们还可以奋起直追。 可怕的是在朝在野普遍的麻木不仁!而祖宗的攘外之法， 又偏是那样的不济事。

其实， 历史上， 我们可是数学强国， 比如现在中学生知道的四元方程， 西方人可是等到十八世纪才掌握的。

而中国什幺时候就懂得四元方程的解法的呢？

说出来， 吓死人， 比西方人至少提早500年， 代的杰出数学家有朱世杰着作的《四元玉鑒》就系统的给出了四元方程的解法。

朱世杰（1249年－1314年）， 字汉卿， 号松庭， 汉族， 燕山（今北京）人氏， 元代数学家、教育家， 毕生从事数学教育。 朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”， 也就是列出四元高次多项式方程， 以及消元求解的方法。 此外他还创造出“垛积法”， 即高阶等差数列的求和方法， 与“招差术”， 即高次内插法。 主要着作是《算学启蒙》与《四元玉鑒》。

我们现在就来看看朱世杰在《四元玉鑒》中的一元四次方程的解法吧。

天元术是利用未知数列方程的一般方法， 与现在代数学中列方程的方法基本一致， 但写法不同。 它首先要“立天元一为某某”， 相当于“设x为某某”， 再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。 然后， 通过类似合併同类项的过程， 得出一个一端为零的方程。 天元术的表示方法不完全一致， 按照李冶的记法， 方程：

a0xn+a1xn-1…+an-1x+an=0

可写成如下形式：

其中a0， a1， …， an表示方程各项係数， 均为筹算数码， 在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字）， “太”或“元”向上每层减少一次幂， 向下每层增加一次幂。

方程列出后， 再按增乘开方法求正实根。 天元术的出现， 提供了列方程的统一方法， 其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。 而在欧洲， 只是到了十六世纪才做到这一点。

此外， 宋代创立的增乘开方法又简化了求解数位高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。

朱世杰在《四元玉鑒》中用天、地、人、物代表四个未知数，然后根据已知条件推导出四元（或者二元、三元）高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项係数摆成一个方阵，其中常数项右侧仍记一“太”字，四个未知数一次项的係数分置于常数项的上下左右，高次项係数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换（实际上也就是矩阵变换），逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。

我们还是来欣赏一下这位古代伟大的数学家是如何解方程的吧；

相信很多数学不好，文言文不好的人，看到这段话估计也蒙菜了，不过可以很肯定的一点。

用这个数学算式，在城里走来走去，就知道整个城区面积多大，远处的塔尖有多高这种事情都是小儿科了。

当然不是全部走完，只是走了几百步而已，这样说吧，就是在北京一环以内散散步，整个北京八环有多大，都算出来了。

我们还是来一到简单一点的，增强一点自信心。

《四元玉鑒》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒．”

聪明的同学们，你们知道朱世杰的酒壶里原来有多少斗酒吗？（“店友经三处”，意思是，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次。敲黑板，这只是一道选择题，你完全可以靠蒙。）

A．0.5B；0.75C；0.8D；0.875；

如果看了电影《缝纫机乐队》都选C，那幺你就错了，还是动手一起算一算吧。

-------------------

设原来有x斗，

经过一次酒店，见到朋友一次，就有（X+X-1）；

然后继续经过酒店，第二次见到朋友，酒就有这幺多了，2（X+X-1）-1；

再继续一次，酒店，朋友，于是就有：2[2（x+x-1）-1]-1=0；

解得：

x=0.875。

则原来有0.875斗。故选D。

其实，立天元还和易经与河洛有关，现在很多人说易经不是数学，真是误会了。这里面的立天元术，还有珠算的，五进一，二进一，都是阴阳五行，二进位和五进制完美的结合。不少演算法已经失传，如果能够还原，必定很有趣，说不定能够起到很大的启发呢。

宋代创立的增乘开方法又简化了求解数位高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。

朱世杰在《四元玉鑒》中用天、地、人、物代表四个未知数，然后根据已知条件推导出四元（或者二元、三元）高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项係数摆成一个方阵，其中常数项右侧仍记一“太”字，四个未知数一次项的係数分置于常数项的上下左右，高次项係数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换（实际上也就是矩阵变换），逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。

我们还是来欣赏一下这位古代伟大的数学家是如何解方程的吧；

相信很多数学不好，文言文不好的人，看到这段话估计也蒙菜了，不过可以很肯定的一点。

用这个数学算式，在城里走来走去，就知道整个城区面积多大，远处的塔尖有多高这种事情都是小儿科了。

当然不是全部走完，只是走了几百步而已，这样说吧，就是在北京一环以内散散步，整个北京八环有多大，都算出来了。

我们还是来一到简单一点的，增强一点自信心。

《四元玉鑒》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒．”

聪明的同学们，你们知道朱世杰的酒壶里原来有多少斗酒吗？（“店友经三处”，意思是，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次。敲黑板，这只是一道选择题，你完全可以靠蒙。）

A．0.5B；0.75C；0.8D；0.875；

如果看了电影《缝纫机乐队》都选C，那幺你就错了，还是动手一起算一算吧。

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设原来有x斗，

经过一次酒店，见到朋友一次，就有（X+X-1）；

然后继续经过酒店，第二次见到朋友，酒就有这幺多了，2（X+X-1）-1；

再继续一次，酒店，朋友，于是就有：2[2（x+x-1）-1]-1=0；

解得：

x=0.875。

则原来有0.875斗。故选D。

其实，立天元还和易经与河洛有关，现在很多人说易经不是数学，真是误会了。这里面的立天元术，还有珠算的，五进一，二进一，都是阴阳五行，二进位和五进制完美的结合。不少演算法已经失传，如果能够还原，必定很有趣，说不定能够起到很大的启发呢。